දිගින් දිගටම අවියෝජනීය. අසීමිත integrals ගණනය

ගණිතමය වශයෙන් විශ්ලේෂණය මූලික කොටස් එක් අනුකලනය කලනයේ වේ. එය, වස්තූන් ඉතා පුළුල් ක්ෂේත්රයක් ආවරණය වන පළමු - එය දින නියමයක් අවියෝජනීය වේ. තත්ත්වය එය උසස් පාසල් තවමත් බව ප්රධාන උසස් ගණිතය විස්තර කරන ගනුදෙනුකරුවන් සහ අනාගත අවස්ථා සංඛ්යාව වැඩි, හෙළි ලෙස නැගී සිටියි.

පෙනුම

බැලූ බැල්මට එය තෝරගෙන, නවීන මොනම අවියෝජනීය පෙනේ, එහෙත් ප්රායෝගිකව එය ඔහු ආපසු 1800 දී පැමිණි බව හැරෙනවා ක්රි.පූ. අප එහි පැවැත්මේ පෙර සාක්ෂි ළඟා වූයේ නැත ලෙස මුල් පිටුව ඊජිප්තුවේ නිල සලකා ය. එය තොරතුරු නොමැති වීම හේතුවෙන්, සියලු අතර හුදෙක් සංසිද්ධිය ලෙස ස්ථානගත. ඔහු නැවත වරක් ඒ කාලයේ ජනයා විද්යාත්මක සංවර්ධනයේ මට්ටම තහවුරු කරයි. අවසාන වශයෙන්, ක්රියා සොයා , පුරාණ ග්රීක ගණිතඥයින් 4 වන සියවස BC දක්වා දිවෙන. ඔවුන් එහිදී අසීමිත අවියෝජනීය මෙම ක්රමය භාවිතා කර විස්තර, වන සාරය (පිළිවෙලින්, ත්රිමාණ හා ද්විමාන තලය) ඒ චලිතය හැඩය පරිමාව හෝ ප්රදේශයේ සොයා ගැනීමට විය. ගණනය පරිමාව (ප්රදේශයේ) මේ වන විටත් ඔවුන් දන්නා බව ලබා, ඉතා කුඩා සංරචක බවට මුල් චරිතයක් අංශය මූලධර්මය මත පදනම් විය. කාලයත්, මෙම ක්රමය, වර්ධනය වී ඇත ආකිමිඩිස් වූ parabola ප්රදේශයේ සොයා ගැනීමට යොදා ගත්තා. පුරාණ චීනයේ දී අභ්යාස පැවැත්වීම සඳහා එම අවස්ථාවේ දී සමාන ගණනය කිරීම්, ඔවුන් ග්රීක සහෝදර විද්යාව සම්පූර්ණයෙන්ම ස්වාධීන කොහෙද.

සංවර්ධන

පිල වන සියවසේ දී ඉදිරි පිම්මක් වනු අරාබි විද්වතෙකු "වැගන්" මේ වන විටත් දන්නා මායිම් තල්ලු කරන අබු අලී අල්-Basri, වැඩ බවට පත් වී තිබේ, අප දන්නා මේ සඳහා අයදුම්, සිව්වන පළමු සිට මුදල් පමාණයන් සහ අංශක ඓක්යයන් ගණනය කිරීම සඳහා අනුකලනය සූත්රය ව්යුත්පන්න විය උද්ගමන ක්රමය.
අද සිත් තමුන්ගේ අත් බව හැර, කිසිදු විශේෂ මෙවලම් තොරව පුදුම ස්මාරක නිර්මාණය පුරාණ මිසර වැසියන් විසින් වර්ණනා කරන, නමුත් එය ආශ්චර්යය නො අඩු කාලය බලය පිස්සු විද්යාඥයන් නොවේ ද? ඔවුන්ගේ ජීවිත වත්මන් කාලය සමග සසඳන විට පාහේ ප්රාථමික පෙනේ, නමුත් සදාකාලයටම integrals තීරණය සෑම තැනකම අපෝහනය සහ ඉදිරි සංවර්ධන ප්රායෝගිකව භාවිත කළා.

ඊළඟ පියවර ඉතාලි ගණිතඥයෙකු Cavalieri ප්රගුණ කරන බෙදිය ක්රමය, ගෙන විට, XVI වැනි සියවසේ දී සිදු වූ Ferma එක්. මෙම පෞරුෂත්වය දෙකක් මේ මොහොතේ ජනප්රියව තිබූ නවීන අවියෝජනීය කලනය, පදනම වැටුණේ ද ඔහු අතිනි. ඔවුන් මීට පෙර ස්වයං අන්තර්ගත ඒකක ලෙස දැකිය කරන ලද, වෙන්වී හා ඒකාබද්ධතාවය පිළිබඳ සංකල්ප බැන්දා. පොදුවේ ගත් කල, ඒ කාලය වන ගණිතය සොයා ගැනීම් සීමිත භාවිත සමග, තමන් විසින් පවතින හැටි අංශු විය. පොදු මොහොතේ එකම සැබෑ වූ එක්සත් හා සොයා ගැනීමට ක්රමයක්, ඔහුට ස්තුති, නූතන ගණිතමය විශ්ලේෂණය වර්ධනය කිරීමට හා සංවර්ධනය කිරීමට අවස්ථාව තිබුණා.

කාලයත් සමඟ මෙන්ම සෑම දෙයක්ම හා අනුකලනය සංකේතය වෙනස් වෙනවා. පොදුවේ ගත් කල, එය ඔහුගේ ම ආකාරයකින්, උදාහරණයක් ලෙස, නිව්ටන් වර්ග අයිකනය, ක integrable කාර්යය තැබූ භාවිතා, හෝ හුදෙක් එකට දමා විද්යාඥයන් නම් කරන ලදී. ඒ ආගමට අපහාස ගණිතමය විශ්ලේෂණය විද්යාඥ Gotfrid Leybnits මුළු න්යාය සඳහා ඉතා වැදගත් අපට හුරු පුරුදු එවැනි චරිතයක් හඳුන්වා විට, XVII වන සියවස තෙක් පැවතුණි. දිගටි "S" ඇත්තටම මේ ලිපිය මත පදනම් වේ , රෝම අක්ෂර මාලාව සැලකෙතත් එකතුව සතුටයි සිට. අනුකලනය නම වසර 15 කට පසු, Jakob Bernoulli ස්තුති ලබා ගත්තේ ය.

විධිමත් අර්ථ දැක්වීම

දිගින් දිගටම අවියෝජනීය වූ ප්රාථමික අර්ථ දැක්වීම මත රඳා පවතී, ඒ නිසා අපි මුලින්ම සලකා බලන්න.

Antiderivative - ප්රායෝගිකව එය ප්රාථමික ලෙස වන අතර, මෙම ව්යුත්පන්න ප්රතිලෝම කාර්යයකි. එසේ නැත්නම්: ඈ ප්රාථමික හැකියාව - උත්සවයකට ඩී, ව්යුත්පන්නයක් v <=> V '= v වන ඇත. සොයන්න ප්රාථමික නියමයක් අවියෝජනීය ගණනය කිරීමට වන අතර, එම ක්රියාවලිය ම ඒකාබද්ධ ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණයක් ලෙස:

එම උත්සවයට s (y) = y ^3, සහ එහි ප්රාථමික S (y) = (y ^4/4).

∫v (x) dx: - මෙම උත්සවයට සියලු සැලකෙතත් කුලකයකි මෙම දින නියමයකින් තොරව අත්යවශ්ය වන අතර, පහත සඳහන් පරිදි එය නිරූපණය.

යන කරුණ පළාෙත් මහනුවර දිස්තික්කෙය් උඩුනුවර පාෙද්ශීය ෙල්කම් විසින් V (x) ඒ - පමණක් සමහර ප්රාථමික මූලාරම්භ කාර්යය වන අතර, ප්රකාශනය පවත්වයි: ∫v (x) dx = V (x) + C, මෙහි C - නිරන්තර. එහි ව්යුත්පන්න ශුන්ය වන බැවින්, අත්තනෝමතික නිරන්තර යටතේ, ඕනෑම නිරන්තර සඳහන් කරයි.

ගුණ

දින නියමයක් අවියෝජනීය විසින් භුක්ති ගුණ, අවශ්යයෙන්ම ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම හා දේපල මත පදනම්.
ප්රධාන කරුණු ගැන සලකා බලන්න:

• ආදි මානවයන් අත්යන්ත ව්යුත්පන්න ම ප්රාථමික ප්ලස් හිතුවක්කාරී නිරන්තර සී <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C ය;
• ශ්රිතයක අනුකලනය ව්යුත්පන්න මුල් කාර්යය <=> (∫v (x) dx) '= v (x) ය;
• නිරන්තර k එහිදී අනුකලනය ලකුණක් <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, යටතේ සිට ගෙන ඇත - අත්තනෝමතික ය;
• මෙම integrals එකතුව සඳහා identically සමාන <=> ∫ (v (y) + w (y)) නියෝජ්ය = ∫v (y) නියෝජ්ය + ∫w (y) නියෝජ්ය එකතුව ගෙන ඇති අවියෝජනීය.

පසුගිය ගුණ දෙක සදහටම අවියෝජනීය රේඛීය බව නිගමනය කළ හැක. මේ නිසා, අපි: ∫ (kV (y) නියෝජ්ය + ∫ එල්.ඩබ්.ද (y)) නියෝජ්ය = k∫v (y) නියෝජ්ය + l∫w (y) නියෝජ්ය.

විසඳුම් අවිනිශ්චිත integrals සවි උදාහරණ බලන්න.

ඔබ අනුකලනය ∫ (3sinx + 4cosx) dx සොයා ගත යුතු:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + සී

ඔබ අසීමිත integrals විසඳීමට කෙසේ දැයි මා දන්නේ නැහැ ඒ ආදර්ශයෙන් අප නිගමනය කළ හැක්කේ කෙසේද? මේ සියල්ල හුදෙක් සැලකෙතත් සොයා! නමුත් අදාළ ප්රතිපත්ති සෙවුම් පහත සාකච්ඡා කළහ.

ක්රම සහ පර්

අනුකලනය විසඳීමට කිරීම සඳහා, ඔබ පහත සඳහන් ක්රම පිහිට හැක:

• මේසය වාසිය ලබා ගැනීමට සූදානම්;
• කොටස් විසින් ඒකාබද්ධ;
• විචල්ය වෙනුවට ඒකාබද්ධ;
• අවකල ලකුණ යටතේ සාරාංශ.

වගු

වඩාත් සරල හා එ් ක්රමය. ඒ මොහොතේ දී, ගණිතමය විශ්ලේෂණය අවිනිශ්චිත integrals මූලික සූත්රය අක්ෂර වින්යාසය භාවිතා කරන ඉතා පුළුල් වගු, සන්ධානයට ආඩම්බර විය හැකිය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඔබ දක්වා ව්යුත්පන්න සැකිලි පවතින අතර ඔබට පමණක් ඔවුන් වාසිය ගත හැකි. මෙහි පාහේ සෑම අවස්ථාවක ප්රදර්ශනය කළ හැකි වන ප්රධාන මේසය තනතුරු, ලැයිස්තුව, විසඳුමක් ඇති වේ:

• ∫0dy = C, මෙහි C - නිරන්තර;
• ∫dy = y + C, මෙහි C - නිරන්තර;
• ∫y ⁿ නියෝජ්ය = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, මෙහි C - නියත, හා n - සමගිය වෙනස් සංඛ්යාව ෙකොපමණද;
• ∫ (1 / y) නියෝජ්ය = LN | y | + C, මෙහි C - නිරන්තර;
• ^{∫e y නියෝජ්ය = ඊ y + C} , මෙහි C - නිරන්තර;
• ^{∫k y නියෝජ්ය = (k y /} LN ඔ) + C, මෙහි C - නිරන්තර;
• ∫cosydy = siny + C, මෙහි C - නිරන්තර;
• ∫sinydy = -cosy + C, මෙහි C - නිරන්තර;
• ∫dy / මූලිකවම කතා ² y = tgy + C, මෙහි C - නිරන්තර;
• ∫dy / පාපය ² y = -ctgy + C, මෙහි C - නිරන්තර;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, මෙහි C - නිරන්තර;
• ∫chydy = ලැජ්ජාශීලී + C, මෙහි C - නිරන්තර;
• ∫shydy = chy + C, මෙහි C - නිරන්තර.

අවශ්ය නම්, පියවර කිහිපයක් ඇති tabular දැක්ම integrand නායකත්වය කිරීමට හා ජයග්රහණය භුක්ති විඳිනවා. උදාහරණයක්: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) ඈ (5x - 2) = 1/5 x පාපය (5x - 2) + සී

එම තීරණය අනුව එය, උදාහරණයක් වශයෙන්, මේසය integrand ගුණකය 5. තොර අපි 1/5 මෙම ගුණනය සමගාමීව එය එකතු කරන පොදු ප්රකාශනය වෙනස් කළේ නැත පැහැදිලි ය.

අමතර කොටස් විසින් ඒකාබද්ධ

x (y) z (y) හා - දෙකක් කාර්යයන් ගැන සලකා බලන්න. ඔවුන් එහි වසමේ දිගින් දිගටම අවකල්ය විය යුතුය. ඈ (xz) = xdz + zdx: අපට ඇති එක් විභේදනයේ ගුණ. දෙපැත්තේ අනුකලනය, අපි ලබා ගන්න: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

- ∫xdz ∫zdx = ZX: ඵලිත සමීකරණය ගැන සිතන්ට නොගියෙමි, අපි කොටස් විසින් ඒකාබද්ධ ක්රමය විස්තර කරන සූත්රය, ලබා ගන්න.

ඇයි එය අවශ්ය වන්නේ ඇයි? එය සරල කිරීම සඳහා හැකි ය උදාහරණ, අග වන tabular ආකෘති පත්රය වෙත සමීප වේ නම්, ∫zdx ∫xdz අඩු කිරීමට, අපි කියමු බව. එසේම, මෙම සූත්රය ප්රශස්ත ප්රතිඵල සඳහා, එක් වරකට වඩා භාවිතා කළ හැක.

අසීමිත integrals මේ ආකාරයට විසඳන ආකාරය:

• ∫ (ව + 1) ඊ ^2s ds ගණනය කිරීමට අවශ්ය

∫ (x + ^{1) ඊ 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, නියෝජ්ය = ඊ 2x} ds} = ((ව + 1) ඊ ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((ව + 1) ඊ ^2s) / 2-ඊ ^2s / 4 + C;

• ∫lnsds ගණනය කළ යුතුය

∫lnsds = {z = lns, dz = DS / s, y = s, නියෝජ්ය = ds} = ශ්රී ලංකා නාවික නෞකා - ∫s x ds / s = ශ්රී ලංකා නාවික නෞකා - ∫ds = ශ්රී ලංකා නාවික නෞකා -s + C = s (lns-1) + සී

විචල්ය වෙනුවට

සංකීර්ණ වුවත් අසීමිත integrals විසඳනවා මෙම ප්රතිපත්තිය නොවේ, පෙර දෙකකට වඩා ඉල්ලුම අඩු වී ඇත. මෙම ක්රමය පහත සඳහන් පරිදි වේ: V (X) කරමු - සමහරක් කාර්යයන් v (x) හි අනුකලනය. මෙම අවස්ථාවට නිදර්ශන slozhnosochinenny දී පරිපූර්ණ එන ම බව, ව්යාකූල ලබා ගැනීමට හා වැරදි මග විසඳුම් බැස යන්න ඉඩ ඇත. z කිරීමට x අනුව, මේ මගින්, z පවත්වා ගෙන යන අතර සාමාන්ය ප්රකාශනය දෘශ්ය සරල කරන විචල්ය x සිට මේ ක්රියාව වෙනස්, වළක්වා ගැනීමට.

ගණිතමය දී, මෙම පහත සඳහන් පරිදි වේ: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), මෙහි x = y ( z) - ආදේශන. එමෙන්ම, සැබැවින්ම, ප්රතිලෝම ශ්රිතය Z = y ^-1 (x) සම්බන්ධතාවය හා විචල්යයන් අතර සම්බන්ධය හොඳින් විස්තර. වැදගත් සටහනක් - නියමයක් අවියෝජනීය දී විචල්ය වෙනස් පමණක් නොව integrand දී, සෑම තැනකම, ඒ වෙනුවට ඇතුළත් සිට අවකල dx අවශ්යයෙන්ම, නව අවකල dz වෙනුවට.

උදාහරණයක් ලෙස:

• ∫ සොයා ගත යුතු (ව + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

(ව + 1) ආදේශ z = අයදුම් / (s ² + 2s-5). එවිට dz = 2sds = 2 + 2 (ව + 1) ds <=> (ව + 1) ds = dz / 2. එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස, ගණනය කිරීමට ඉතා පහසු වන පහත සඳහන් ප්රකාශනය:

∫ (ව + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• ඔබ අනුකලනය ∫2 ^ගේ ඊ ^ගේ dx සොයා ගත යුතු

පහත සඳහන් ආකෘතිය තුළ නැවත ලිවිය විසඳීමට:

^{∫2 ගේ ඊ ගේ ds = ∫ (} 2e) ගේ ds.

අපි මූලික tabular ආකෘති පත්රය වෙත අපගේ පෙනෙන පරිදි සංකීර්ණ අවියෝජනීය දෙන්න, a = 2e විසින් දකුණු ආසියාතික සමාජ (මෙම පියවර නොවේ තර්කය වෙනුවට, එය තවමත් ගේ වේ):

^{∫ (2e) ගේ ds = ∫a} ගේ ds = කරුණාකර S / lna + C = (2e) S / LN (2e) + C = 2 ^s ඊ ^S / LN (2 + lne) + C = 2 ^හි ඊ ^S / (ln2 + 1) + සී

එය අවකල ලකුණක් සාරාංශගත කරමින්

හා විශාල අවිනිශ්චිත integrals ක, මෙම ක්රමය - විචල්ය වෙනස් මූලධර්මය නිවුන් සහෝදරයා, නමුත් ලියාපදිංචි කිරීමේ ක්රියාවලිය තුළ භේද ඇති වෙන්නේ නෑ. අපට වඩා සවිස්තරව සලකා බලමු.

නම් ∫v (x) dx = V (x) + C සහ y = Z (x), එසේ නම් ∫v (y) නියෝජ්ය = V (y) + සී

එම අවස්ථාවේ දී අප අතර ඒවා අතර, සුළු අයුරින් අත්යවශ්ය පරිවර්තනයන් අමතක නොකළ යුතුයි:

• dx = ඈ (x + අ), සහ, එයද - එක් එක් නිරන්තර;
• dx = (1 / අ) ඈ (පොරොව + ආ), එහිදී - නිරන්තර නැවත, නමුත් ශුන්ය නොවේ නම්,
• xdx = 1/2 D (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = ඈ (sinx).

අපි නියමයක් අවියෝජනීය ගණනය ජනන නඩුව සලකා බලන්නේ නම්, උදාහරණ පොදු සූත්රය w යටතේ කෙළවර විය හැකි '' (x) dx = DW (x).

උදාහරණ:

• ∫ සොයා ගත යුතු (2s + 3) ² ds, ds = 1/2 D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² ඈ (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² C +,

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + සී

සමඟ අමුත්තන් උදව්

සමහර අවස්ථාවල දී, බවට පත් හෝ කම්මැලිකම කල අතර, එහි වරදක් හෝ හදිසි අවශ්යතාවයක්, ඔබ වඩා අන්තර්ජාල විමසුම්, හෝ, කැල්කියුලේටරයක් අවිනිශ්චිත integrals භාවිතා කිරීමට භාවිතා කළ හැක. දෘශ්යමාන සංකීර්ණත්වය සහ integrals ක ආන්දෝලනාත්මක ස්වභාවය නොතකා, එම තීරණය "... ඔබ නැති නම් ..." යන මූලධර්මය මත පදනම් වූ ඔවුන්ගේ විශේෂිත ඇල්ගොරිතමය, වලට යටත් වේ.

ඇත්ත වශයෙන්ම, එවැනි කැල්ක්යුලේටරය පිළිබඳ විශේෂයෙන් සංකීර්ණ උදාහරණ, ප්රගුණ නැත තීරණයක් කෘතිම ප්රතිඵල ළඟා පැහැදිලි ක්රම නිසා, මෙම ක්රියාවලිය යම් යම් අංග හඳුන්වා දීම මගින් "බල" සොයා ගැනීමට ඇති නඩු තියෙනවා ලෙස. මෙම ප්රකාශයේ ආන්දෝලනාත්මක ස්වභාවය නොතකා, සැබෑ, මේ ගණිතය, ප්රතිපත්තිමය, වියුක්ත විද්යාව වන අතර, එහි මූලික අරමුණ දේශසීමා බලගැන්වීමේ අවශ්යතාව සලකා බලයි. මෙම අවස්ථා උස වේ - ඇත්තෙන්ම, සුමට ලකුණු දී න්යායන් සඳහා ඉහළ යාමට හා පරිණාමය, ඒ නිසා අප දුන් අසීමිත integrals විසඳනවා උදාහරණ බව සිතන්න එපා කිරීමට ඉතා දුෂ්කර වී ඇත. එහෙත් ආපසු දේවල් තාක්ෂණික පැත්තට. අවම වශයෙන් ගණනය කිරීම් පරීක්ෂා කිරීමට, ඔබ එය අපට ලියූ සේවාව භාවිතා කළ හැකිය. සංකීර්ණ ප්රකාශන ස්වයංක්රීයව ගණනය කිරීම සඳහා අවශ්ය නම්, එවිට ඔවුන් ඊටත් වඩා බරපතළ මෘදුකාංග පිහිට ලබා ගැනීමට අවශ්ය නැත. මූලික වශයෙන් පරිසරය MatLab මත අවධානය යොමු කළ යුතුය.

අයදුම්

බැලූ බැල්මට අවිනිශ්චිත integrals මෙම තීරණය එය යානයේ පැහැදිලි භාවිතය ගැනීමට අපහසු නිසා, යථාර්ථය සිට සම්පූර්ණයෙන්ම වෙන්කොට පෙනේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔවුන්ව කෙලින්ම ඕනෑම තැනක ඔබට නොහැකි භාවිතා කරන්න, නමුත් ඔවුන් ප්රායෝගිකව භාවිතා විසඳුම් ඉවත් කිරීමේ ක්රියාවලිය තුළ අවශ්ය අතරමැදි අංගයක් වේ. මේ අනුව, මේ අනුව, ක්රියාකාරීව සමීකරණ විසඳීමේ ක්රියාවලිය සහභාගී නැවත විභේදනයේ ඒකාබද්ධ.
වර්තමාන සහ අනාගත හැඩ බවට පත්වන්නාවූ කෙටි, සියලු දේ තුළ - අනෙක් අතට, මෙම සමීකරණ යාන්ත්රික ගැටලු තීරණය මත ඍජු බලපෑමක්, ගමන් මග ගණනය හා තාප සන්නායකතාව. වන නිසා අප වඩ වඩාත් නව සොයා ගැනීම් සිදු කිරීමට පදනමක් ලෙස, ඉහත සලකනු බැලූ බැල්මට ඉතා සුළු පමණක් අවිනිශ්චිත අවියෝජනීය, උදාහරණ.