බූලීය වීජ ගණිතය. තර්කනය වීජ ගණිතය. ගණිතමය තර්කනය අංග

අද ලෝකයේ අපි වැඩි වැඩියෙන් යන්ත්ර හා මෙවලම් විවිධ භාවිතා කරයි. හා පමණක් එය ප්රායෝගික අධිමානුෂික ශක්තිය අයදුම් කිරීමට අවශ්ය වූ විට: දිගු හා ගැඹුරු අගල් හාරා ආදිය මෝටර් රථ අද උස ඉහළ දැමීමට බර චලනය, රොබෝවරු එකතු කිරීම, ආහාර Multivarki හා ප්රාථමික ගණනය ගණක නිෂ්පාදනය පිසූ ඇත ... තව තවත් බොහෝ විට අපි ෙකළවෙර් "බූලීය වීජ ගණිතය" සවන් දෙන්න. සමහර විට කාලය ගණිතමය පමණක් නොව, විසඳීමට හැකියාව රොබෝවරු සහ යන්ත්ර නිර්මාණය මිනිස් භූමිකාව වටහා ගැනීමට පැමිණ ඇත තර්කානුකුල ප්රශ්න.

තර්ක

චින්තනයේ නියෝගයක් පද්ධතිය ලබා දී කොන්දේසි අතර ඇති සම්බන්ධතාවය නිර්මාණය සහ ඔබ උපකල්පන හා ඇස්තමේන්තු මත පදනම් වටේට කිරීමට ඉඩ සලසා දෙන - ග්රීක, තර්ක ශාස්ත්රය. බොහෝ විට, අපි එකිනෙකා අසයි: ඊ-මේල් මගින් පිලිතුරු දෙන්න අපගේ උපකල්පන තහවුරු හෝ චින්තනයේ දුම්රිය විවේචනය "වෙත එය තාර්කික ය." නමුත් ක්රියාවලිය එතනින් නතර වෙන්නේ නැහැ: අපි කතා කරනවා.

සමහර විට කොන්දේසි සංඛ්යාව (ආදානය) එසේ මහා වන අතර, ඒවා අතර ඇති සම්බන්ධය නිසා පින්වතුනි සහ සංකීර්ණ මිනිස් මොලය එකවර සියලු "ජීර්ණය" කිරීමට හැකි නොවන බව යි. ඔබ කුමක් සිදු වන්නේ ද යන්න පිළිබඳ අවබෝධය සඳහා මාසයක් (සතියේ, වසර) වඩා වැඩි යමක් අවශ්ය විය හැක. නමුත් නවීන ජීවිතයේ තීරණ ගැනීමට අපට මේ කාල පරාසයන් දෙන්නේ නැහැ. අපි පරිගණක ආධාර ගනිති. හා එය වීජ ගණිතය හා තර්කය එහි නීති සහ ගුණ ඇති, ඇති බව මෙහි ඇත. මුල් දත්ත සියල්ල බාගත, අපි පරිගණකය, සියලු සබඳතා හඳුනා ගැනීමට පරස්පර තුරන් කිරීම සඳහා සහ සතුටුදායක විසඳුමක් සොයා ගැනීමට ඉඩ ලබා දේ.

ගණිතය හා තර්කය

ප්රසිද්ධ Gotfrid Vilgelm Leybnits කාර්යයන් විද්වතුන් පමණක් කුඩා රූපයක් තේරුම් ගැනීමට පහසු වන, "ගණිතමය තර්කනය" සංකල්පය විසින් සකස් කරන ලදී. විශේෂයෙන් පොලී අඩු වුණේ නැහැ, සහ කිහිපයක් විසින් දන්නා ගණිතමය තර්කනයේ XIX සියවසේ මැද දිශාව වේ.

විද්යාත්මක ප්රජාව තුළ විශාල උනන්දුවක් ඇති ඉංග්රීසි Dzhordzh බුල් කිසිදු ප්රායෝගික භාවිතය නැති, ගණිතය ශාඛාවක් පිහිටුවීම සඳහා ඔහු සිය චේතනා ප්රකාශයට පත් කරන ආරවුලක් ඇති වී තිබෙනවා. අප ක්රියාකාරීව කාර්මික නිෂ්පාදනය සංවර්ධනය මේ කාලය වන විට, ඉතිහාසය දන්නා පරිදි, අපි, සහායක යන්ත්ර, සියලු වර්ගවල සංවර්ධනය ටී. ඊ සියලුම විද්යාත්මක සොයාගැනීම් ප්රායෝගික දිශානතියේ ඇත.

ගණිතය වඩාත් අද ලෝකයේ භාවිතා කොටසක් - ඉදිරියට සොයමින්, අපි බූලීය වීජ ගණිතය බවයි. එසේ ඔබේ තර්කය Buhl අහිමි විය.

Dzhordzh බුල්

කතෘ පෞරුෂත්වය විශේෂ අවධානය යොමු විය යුතුව. පවා පසුගිය ජනතාව තවමත් එය ජෝන් වසර 16 බව සඳහන් කළ යුතු ය, අපට පෙර දක්වා වර්ධනය වූ බවයි. Buhl ගමේ පාසලේ ඉගැන්වූ අතර, වසර 20 දක්වා ලින්කන් ඔහුගේ ම පාසල් විවෘත කරන ලදී. මෙම කාරනය සමයේදී 'ගණන් කරුවෙකු සම්පූර්ණයෙන්ම විදේශ භාෂා පහක් ප්රගුණ, ඔහුගේ අමතර කාලය තුළ, නිව්ටන් සහ Lagrange ක්රියා කියවීම කරන ලදී. මේ සියල්ල - සාමාන්ය කම්කරුවෙකු මහතාගේ පුත්රයෙකු වන!

1839 දී, Buhl කේම්බ්රිජ් ගණිතමය ජර්නල් ඔහුගේ ප්රථම විද්යාත්මක පත්රිකා යැවී ය. විද්යාඥ අවුරුදු 24 හැරී. Boole වැඩ 1844 දී ඔහු පළාත් සංවර්ධනය සඳහා ඔහුගේ දායකත්වය වෙනුවෙන් පදක්කමක් ලැබුණු රාජකීය සංගමයේ එසේ උනන්දුවක් සාමාජිකයන් වේ ගණිතමය විශ්ලේෂණය. ගණිතමය තර්කනය මූලද්රව්ය ලද ප්රශ්න පත්ර කිහිපයක්, තරුණ, කෝක් කවුන්ටි විද්යාලය තුළ මහාචාර්ය තනතුර ගැනීමට ඉඩ ගණිත විස්තර කරන ලදී. ඉතා Boole අධ්යාපනය නොවූ බව ඔබට මතක ඇති.

අදහස

ප්රතිපත්තියක් වශයෙන්, බූලියන් වීජ ගණිතය ඉතා සරල ය. ඇත ප්රකාශන (තාර්කික "සත්යය" හෝ "බොරු": ප්රකාශන) ගණිතය දෘෂ්ටි කෝණයෙන් පමණක් වචන දෙකක් අර්ථ දැක්විය හැකිය, ඒ. උදාහරණයක් ලෙස, වසන්ත පිපෙන ගස් - සත්යය, එය හිම වැටෙනවා ගිම්හානයේදී - බොරුවක්. ගණිත සුන්දරත්වය එය අංක පමණක් භාවිතා කිරීමට දැඩි අවශ්ය නොවන බව යි. මෙම වීජ ගණිතය විනිශ්චයන් සඳහා ඉතා සුවිශේෂී අර්ථයක් සමග කිසිදු ප්රකාශයක් ගැලපෙන.

මේ අනුව, තර්ක ශාස්ත්රය පිළිබඳ වීජ ගණිතය වචනාර්ථයෙන් සෑම තැනකම භාවිතා කල හැක: නියම හා ලිවීමේ උපදෙස්, සිදුවීම් හා ක්රියා අනුක්රමය නිර්ණය කිරීම ගැන එකිනෙකට ගැටෙන තොරතුරු විශ්ලේෂණය. වඩාත් වැදගත් දේ - එය අප ප්රකාශ සත්යය හෝ ව්යාපාර වල නිරතවෙති නිශ්චය ප්රශ්නයක් නොවේ බව අවබෝධ කර ගැනීමට. මෙම "ආකාරය" සහ "ඇයි" ඔබ නොසලකා හරින යුතුය. ඇත්ත පමණක් ප්රකාශ කුමක් කරුණු වේ: සත්යය බොරු.

ඇත්ත වශයෙන්ම, සුදුසු සලකුණු හා සංකේත සමග වාර්තා වී ඇත බව තර්කනයේ වීජ ගණිතය ඉතා වැදගත් කාර්යයන් වැඩසටහන්ගත. ඔවුන් ඉගෙන - එය නව විදේශ භාෂා ඉගෙන ගැනීමට බවයි. කරන්න බැරි දෙයක් නෑ.

මූලික සංකල්ප සහ අර්ථ දැක්වීම්

ගැඹුර නොගොස්, අපි පාරිභාෂික ශබ්ද සමග ගනුදෙනු. ඒ නිසා, බූලියන් වීජ ගණිතය ලිංගික කෙළසීම,:

• ප්රකාශ;
• තාර්කික කටයුතු;
• කාර්යයන් හා නීති.

ප්රකාශ - දෙකක් වටිනා අර්ථකථනය කළ හැකි බව ඕනෑම සොළී ප්රකාශනය. ඔවුන් සංඛ්යා (5> 3) හෝ සකස් හුරු පුරුදු වචන (- විශාලතම ක්ෂීරපායි අලි) ලෙස ලියා ඇත. මේ අවස්ථාවේ දී, "යන වැකි ජිරාෆ් බෙල්ල නොවේ" ද පවත්නේ ඇති අයිතිය පමණක් බූලීය වීජ ගණිතය ලෙස එය අර්ථ 'බොරුව. "

සියලු ප්රකාශ හෙලීමේ විය යුතු, නමුත් ඔවුන් මූලික හෝ සංයෝගයක් විය හැකිය. නවතම භාවිතය තාර්කික මිටියක්. ඊ මූලික තර්කය මෙහෙයුම් අමතරව විසින් පිහිටුවන ලද වීජ ගණිතය ප්රකාශ විනිශ්චයන් සංයෝගයක් දී.

බූලීය වීජ ගණිතය මෙහෙයුම්

තාර්කික - අපි දැනටමත් විනිශ්චයන් වීජ ගණිතය මෙහෙයුම් බව මතක තබා ගන්න. හුදෙක්, එකතු කරන්න අඩු හෝ අංක සංසන්දනය කිරීමට කර්මයන් භාවිතා සංඛ්යා වීජ ගණිතය ලෙස, ගණිතමය තර්කනය අංග, සංකීර්ණ ප්රකාශ ප්රතික්ෂේප කිරීමට හෝ අවසාන ප්රතිඵලය ගණනය කිරීමට ඉඩ ලබා දේ.

සූත්රය විසින් ප්රකාශ කරන විධිමත් සහ සරල සඳහා තර්ක මෙහෙයුම්, අංක ගණිතය අපට හුරු පුරුදු. බූලීය වීජ ගණිතය සමීකරණ ගුණ එය නොදන්නා වාර්තා හා ගණනය කිරීමට හැකි වෙනවා. තාර්කික මෙහෙයුම් සාමාන්යයෙන් සත්යතා වගුවේ විසින් වාර්තා කර තිබේ. එහි අංග ඔවුන් මත සිදු වන තීරු සහ පරිගණක මෙහෙයුම් නිර්වචනය, සහ පේළි ගණනය කිරීම් ප්රතිඵලයක් පෙන්වන්න.

ක්රියා මූලික තර්කය

මෙම බූලීය වීජ ගණිතය මෙහෙයුම් වඩාත් පොදු නිශේධනය (නැති), සහ තාර්කික සහ සහ හෝ වේ. ඒ නිසා එය ප්රායෝගිකව වීජ ගණිතය විනිශ්චයන් සියළු පියවර විස්තර කිරීමට හැකි ය. අපි විස්තර මෙහෙයුම් තුනක් එක් එක් පාඩම් කළා.

නිශේධනය (නැත) සඳහා එක් අංගයක් (යන අගයද) ආලේප කරයි. එම නිසා, මෙහෙයුම ඒකජ නිශේධනය ලෙස හැඳින්වේ. "නෑ ඒ" භාවිතා එවැනි සංකේත සංකල්පය වාර්තා කිරීම සඳහා: ¬A, A හෝ A !. tabular ස්වරූපයෙන් එය මේ වගේ:

එවැනි ප්රකාශයක් කිරීම සාමාන්ය ප්රතික්ෂේප කිරීමේ ක්රියාව: සැබෑ නම්, එසේ නම් ඒ - බොරු ය. උදාහරණයක් ලෙස, චන්ද්රයා පෘථිවිය වටා ගමන් - සත්යය, පොළොව සඳ වටා - බොරුවක්.

තාර්කික ගුණ කිරීමේ හා ඊට අමතරව

තාර්කික සහ මෙහෙයුම සහයෝගීව ලෙස හැඳින්වේ. යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? පළමු වැන්න නම්, එය දෙදෙනෙකු operands, එනම්, මම යෙදිය හැකි බව - .. ද්වීමය මෙහෙයුම. දෙවනුව, එය පමණක් operands දෙකම (A සහ B යන දෙකම) සත්යය පිළිබඳ පැමිණිල්ලේ දී සැබෑ වන අතර, ප්රකාශනය ම ඇත. ඔවා, "ඉවසීම හා ටිකක් උත්සාහයක්" සාධක දෙකක් පමණක් පුද්ගලයා දුෂ්කරතා සමඟ සාර්ථකව කටයුතු උදව් කළ හැකි බව එයින් ගම්ය වේ.

සංකේත පටිගත කිරීම සඳහා භාවිතා වේ: A∧B, A⋅B හෝ A && බී

සහයෝගීව අංක ගණිතමය ගුණ සමාන වේ. සමහර විට කියන්න - තාර්කික ගුණ. ඔබ මේසය පේළි මූලද්රව්ය බොහෝ සෙයින් වැඩි නම්, අපි තාර්කික චින්තනය හා සමාන ප්රතිඵලයක් ලබා ගන්න.

Disjunction තාර්කික හෝ මෙහෙයුමක්. ප්රකාශ අවම වශයෙන් එක් සැබෑ (A හෝ B එක්කෝ) නම් එය සැබෑ ය. A∨B, A + B හෝ A || බී: එය මේ වගේ ලියා ඇත මෙම මෙහෙයුම් සඳහා සත්යතා වගුවේ දැක්වේ:

Disjunction සමාන අංක ගණිතමය අමතරව. + 1 1 = 1: තාර්කික අමතරව මෙහෙයුම පමණක් සීමා වේ. (- සත්යය, 0 - බොරු එහිදී 1) නමුත් අපි ඩිජිටල් ආකෘතියක් ගණිතමය තර්කනය 0 හා 1 සීමිත වන බව මතක තබා ගන්න. උදාහරණයක් ලෙස, "ප්රකාශය කෞතුකාගාරයේ එහි මුල් කෘතිය දෙස බලන හෝ හොඳ ඔබට සොයා ගත හැකි" ඔබ කලා ක්රියා දැක හැකි දේ කිරීමයි, හා එය ඉතා වැදගත් පුද්ගලයා හමුවීමට හැකි ය. එම අවස්ථාවේ දී, සිදුවීම් දෙකම සමගාමී ඉටු කිරීමට ඇති හැකියාව බැහැර කරන්නේ නැත.

කාර්යයන් හා නීති

ඒ නිසා, අපි මේ වන විටත් තාර්කික මෙහෙයුම් බූලීය වීජ ගණිතය භාවිතා කරන්නේ කියලා. කාර්යයන් ගණිතමය තර්කනය මූලද්රව්ය සියලු ගුණ විස්තර, සහ සංකීර්ණ සංයෝගයක් ප්රකාශ සරල කිරීම සඳහා අප ඉඩ ලබා දේ. වඩාත් පැහැදිලි සහ සරල වන ව්යුත්පන්න මෙහෙයුම් ප්රතික්ෂේප දේපල පෙනේ. ව්යුත්පන්න විසින් XOR, ඇඟවුම හා සමාන වචන තේරුම් ඇත. අපි පමණක් මූලික මෙහෙයුම් සමග කියවිය ඇති අතර, පසුව දේපළ පමණක් ඔවුන් සලකා ද වේ. ලෙස

Associativity එවැනි "A සහ B යන ලෙස ප්රකාශ, සහ operands බී 'අනුපිළිවෙල ලැයිස්තුගත දී ප්රශ්නයක් නොවේ යන්නයි. සූත්රය පහත පරිදි ලියා ඇත:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

ඔබ දැක ගැනීමට හැකි වන පරිදි, මේ සහයෝගීව නමුත් disjunction සුවිශේෂ නැත.

Commutativity මෙම සහයෝගීව හෝ disjunction ප්රතිඵලයක් ආරම්භයේ සැලකිල්ලට ගත් අයිතමය කිරීම මත පදනම් නොවී, තර්ක කරයි:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity සංකීර්ණ තාර්කික ප්රකාශන අල්ලු අනාවරණය හැක. නීති වීජ ගණිතය ගුණ කළ අතර ඊට අමතරව විවෘත වරහන සමාන වේ:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

මෙම operands එකක් විය හැකි ඒකකයක් ගුණ හා මුල, ද ශුන්ය හෝ එක් විසින් වීජීය ගුණ සමාන වන අතර, ඒකකයක් අමතරව:

A∧0 = 0, A∧1 = ඒ; A∨0 = A, A∨1 = 1.

සාපේක්ෂව සමාන operands දෙකක් මෙහෙයුමේ ප්රතිඵලයක් එක සමාන වන්නේ නම්, ඔබ වඩා වැඩි අවුල් තර්ක operands "විසි" හැකි බව Idempotency අපට කියනවා. හා සහයෝගීව හා disjunction මෙහෙයුම් idempotent වේ.

B∧B = බී; B∨B = බී

අත්පත් කර ගැනීම ද මෙම සමීකරණය සරල කිරීම සඳහා අප ඉඩ දෙයි. උරා ප්රකාශනය යන අගයද එක් යෙදූ විට, එම අගයද ප්රතිඵලය, එකම මූලද්රව්ය සමග තවත් මෙහෙයුම් ක්රියාත්මක අවශෝෂණය කරන බව සඳහන් කරයි.

A∧B∨B = බී; (A∨B) ∧B = බී

මෙහෙයුම් අනුක්රමය

මෙහෙයුම් අනුක්රමය විශාල වැදගත් වේ. ඇත්තටම, වීජ ගණිතය සඳහා පරිදි, බූලියන් වීජ ගණිතය භාවිතා කරන ප්රමුඛ කාර්යය නැත. සූත්ර මෙහෙයුම් වැදගත්කම පමණක් විෂය සරල කළ හැක. නොසැලකිය යුතු වඩාත්ම වැදගත් නම්කල, අපි පහත සඳහන් අනුපිළිවෙල ලබා:

1. ප්රතික්ෂේප කිරීම.

2. සහයෝගීව.

3. disjunction, XOR.

4. එහි ඇඟවුම, සමාන වචන.

ඔබ බලන්න, හැකි යෝගයෙහි පමණක් නිශේධනය හා සමාන ප්රමුඛත්වයක් නැහැ. ලෙස මෙම disjunction හා XOR ක ප්රමුඛත්වය සමාන මෙන්ම, ඇඟවුම හා සමාන වචන ප්රමුඛතා.

ඇඟවුම හා සමාන වචන කාර්යයන්

අපි මූලික තාර්කික මෙහෙයුම් වලට අමතරව, ගණිතමය තර්කනය සහ ව්යුත්පන්න භාවිතා දක්නට නොමැත්තේ න්යාය, පවසා ඇති පරිදි. එය බොහෝ විට ඇඟවුම හා සමාන වචන වේ.

එහි ඇඟවුම හෝ තර්කාන්විත - එක් පියවර කොන්දේසියක් වන මෙම ප්රකාශය, හා අනෙකුත් - එය ක්රියාත්මක කිරීම ප්රතිඵලයක්. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, මේ "එසේ නම් නම් ..." කඩතුරාව සමග යෝජනාවක්. "රෑ කෑම පසු ගණනය වෙයි." අතිගරු sled කඳු මත දැඩි කළ රථයෙන් සඳහා. කන්දෙන් පහළට ගෙන යාමට කිසිම ආශාවක් නැත, පසුව sled ඇදගෙන නම් අවශ්ය නොවේ. එසේ ලියා ඇත: ඒ → හෝ B A⇒B.

සමතාව ශුද්ධ බලපැම operands දෙකම සත්ය විට පමණක් සිදුවන බවයි. උදාහරණයක් ලෙස, රාත්රී මාර්ගය අද දක්වා පසුව (එවකට පමණක්) හිරු ක්ෂිතිජයෙන් ඔබ්බට පායන විට ලබා දෙයි,. මෙම ප්රකාශය ගණිතමය තර්කනය භාෂාවෙන් A≡B, A⇔B, ඒ == බී ලෙස ලියා ඇත

බූලීය වීජ ගණිතය අනෙකුත් නීති

වීජ ගණිතය විනිශ්චය වර්ධනය, හා තවත් බොහෝ උනන්දුවක් දක්වන විද්යාඥයන් නව නීති සකස් කිරීමට. වඩාත් ම ප්රසිද්ධ ලෙස සලකනු ලැබේ ස්කොට්ලන්ත ගණිතඥයෙකු ඕ ද මෝර්ගන් කියවෙන්නේ. ඔහු දැක සමීප නිශේධනය, එකතු කිරීම සහ ද්විත්ව ඍණ වැනි ගුණ පිළිබඳ අර්ථ නිරූපනයක් ලබා දුන්නා.

නැත (A හෝ B) = A හෝ බී නැති නොවේ: සමීප ප්රතික්ෂේප රොම්නි කිසිදු ප්රතික්ෂේප පෙර කරන බව හඟවන

මෙම අගයද ප්රතික්ෂේප කරන විට, නොතකා එහි වටිනාකම, එකතු කිරීම ගැන කියන්න:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

අවසාන වශයෙන්, මෙම ද්විත්ව නිශේධනය ම පවතිනවා. එනම් යන අගයද නිශේධනය අතුරුදහන් එකක් හෝ පවතී එක්කෝ පෙර.

පරීක්ෂණ විසඳන ආකාරය

තර්ක සරල කලින් තීරණය සමීකරණ බවයි. හුදෙක් අසත්ය වීජ ගණිතය මෙන්, එය පාවිච්චි කිරීමට කැපවී නිවැරදි පිළිතුර සෙවීම ආරම්භ පසුව (සංකීර්ණ ආදාන මෙහෙයුම් ඉවත් සහ ඔවුන් සමඟ ගත කිරීම සඳහා) පළමු කොන්දේසිය පහසුකම් සැලසීම සඳහා අවශ්ය වේ.

දේ සරල කරන්න? සරල ක්රියාත්මක සියලු ව්යුත්පන්න බවට පරිවර්තනය කරයි. එවිට (මෙම මූලද්රව්යය අඩු කිරීමට වරහන් කිරීමට, හෝ අනෙක් අතට) සියලු වරහන් අනාවරණය. ඊළඟ පියවර ප්රායෝගිකව බූලීය වීජ ගණිතය ගුණ භාවිතා කිරීමට විය යුතුය (අවෙශෝෂණය ගුණ ශුන්ය හා එක්, සහ ටී.).

අවසානයේ, ඓක්යයක්, සරල මෙහෙයුම් සමග ඒකාබද්ධ unknowns අවම වශයෙන් අංකය සමන්විත විය යුතුයි. ඔබ සමීප සෘණ විශාල සංඛ්යාවක් කිරීමට නම්, විසඳුමක් සොයා ගැනීමට ඇති පහසුම ක්රමය. එවිට පිළිතුර ම විසින් නම් දිස්වේ ඇත.